В уравнения слагаемые и множители

В уравнения слагаемые и множители

5 способов разложения многочлена на множители. Исчерпывающий гид (2020)


 Важное замечание!

Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш.

Как это сделать в твоем браузере написано здесь: Для чего нужно раскладывать многочлен на множители?

Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты сделаешь это, выражение станет намного проще и ты сможешь с ним «разобраться»!

Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности. Как это сделать? Прочитай эту статью и у тебя не останется вопросов по этой теме.

Сначала мы разберем что означают все «сложные» слова, потом объясним все пять ВОЛШЕБНЫХ способов разложения многочлена на множители. И затем разберем на примерах как это делать.

Let’s dive right in. (Поехали!) СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ Одночлены – это могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему ) Например:

Все это — одночлены.

Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов. — это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

  1. .

Так, ну давай по порядку. Как не трудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число , разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. Так мы можем получить, умножив на , а , в свою очередь, можно представить как произведение и .

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров.

В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д.

Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др.

Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9. Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй?

Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x.

Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9, значит, можно записать уравнение 4+x=9. Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x? Для этого надо использовать правило: Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a+b=c, то c−a=b и c−b=a, и наоборот, из выражений c−a=b и c−b=a можно вывести, что a+b=c. Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму.

Что такое показательное уравнение и как его решать

20 декабря 2016 Этот урок предназначен для тех, кто только начинает изучать показательные уравнения. Как всегда, начнём с определения и простейших примеров. Если вы читаете этот урок, то я подозреваю, что вы уже имеете хотя бы минимальное представление о простейших уравнениях — линейных и квадратных: $56x-11=0$; ${{x}^{2}}+5x+4=0$; ${{x}^{2}}-12x+32=0$ и т.д.

Уметь решать такие конструкции совершенно необходимо для того, чтобы не «зависнуть» в той теме, о которой сейчас пойдёт речь. Итак, показательные уравнения.

Сразу приведу парочку примеров: \[{{2}^{x}}=4;\quad {{5}^{2x-3}}=\frac{1}{25};\quad {{9}^{x}}=-3\] Какие-то из них могут показаться вам более сложными, какие-то — напротив, слишком простыми. Но всех их объединяет один важный признак: в их записи присутствует показательная функция $f\left( x \right)={{a}^{x}}$. Таким образом, введём определение: Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е.

выражение вида ${{a}^{x}}$. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

Ну хорошо. С определением разобрались.

Теперь вопрос: как всю эту хрень решать?

Ответ одновременно и прост, и сложен. Начнём с хорошей новости: по своему опыту занятий с множеством учеников могу сказать, что большинству из них показательные уравнения даются намного легче, чем те же логарифмы и уж тем более тригонометрия.

Но есть и плохая новость: иногда составителей задач для всевозможных учебников и экзаменов посещает «вдохновение», и их воспалённый наркотиками мозг начинает выдавать такие зверские уравнения, что решить их становится проблематично не только ученикам — даже многие учителя на таких задачах залипают. Впрочем, не будем о грустном.

Решение уравнений методом разложения на множители

Пример.

Решите уравнение \(x^2+5x=0\). Решение: \(x^2+5x=0\) Вынесем за скобку икс. \(x(x+5)=0\) Разобьем уравнение на два простейших. \(x=0\) \(x+5=0\) В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону. \(x_1=0\) \(x_2=-5\) Ответ: \(0\); \(-5\). Решение методом разложения на множители основывается на простой идее: Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль.

Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки.

А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д.

Подробнее о всех способах разложения на множители смотри . Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\). Решение: \(x^3+4x^2-4x-16=0\) Перед нами кубическое уравнение.

Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку. \(x^2 (x+4)-4(x+4)=0\) Вынесем за скобку \(x+4\).

\((x+4)(x^2-4)=0\) Разложим на множители \(x^2-4\) по . \((x+4)(x-2)(x+2)=0\) Расщепим уравнения на три. \(x+4=0\)

Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное . Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

(множителей может быть больше). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно. Примеры.

Это — уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Решение уравнений высших степеней различными методами

При решении алгебраических уравнений часто приходится разлагать многочлен на множители.

Разложить многочлен на множители – это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Некоторые методы разложения многочленов мы употребляем достаточно часто: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, группировка. Рассмотрим ещё некоторые методы.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения: 1) если многочлен, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень (где — несократимая дробь, ,то -делитель свободного члена а делитель старшего коэффициента : 2) Если каким-либо образом подобрать корень многочлена степени , то многочлен можно представить в виде где многочлен степени Многочлен можно найти либо делением многочлена на двучлен «столбиком», либо соответствующей группировку слагаемых многочлена и выделением из них множителя либо методом неопределенных коэффициентов. Пример. Разложить на множители многочлен Решение. Поскольку коэффициент при х4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, существуют, являются делителями числа 6, т.

е. могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим данный многочлен через Р4(х).

Так как Р Р4 (1) = 4 и Р4(-4) = 23, то числа 1 и -1 не являются корнями многочлена РА{х).

Поскольку Р4(2) = 0, то х = 2 является корнем многочлена Р4(х), и, значит, данный многочлен делится на двучлен х — 2. Поэтому х4 -5х3 +7х2 -5х +6 х-2 х4 -2х3

Уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти.

Решение уравнения — это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство: Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство: ах = Ь Из последнего равенства определим неизвестное по правилу:

«один из множителей равен частному, деленному на второй множитель»

.

x = b : a Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

  • Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a),
  • Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b.
  • Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).
  • Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа — в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,
  • Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

  • Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю». Примеры.
  • 27 (x — 3) = 0 27 не равно 0, значит x — 3 = 0
Рекомендуем прочесть:  Заявление на выдачу тк умершего

Уравнения

Определение. Равенство — это два выражения, соединенные знаком равенства («=»).

Определение. Равенство, верное при всех значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти, называется уравнением.

Значение буквы, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется решением или корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его решения или показать, что уравнение решений не имеет. Степень неизвестного (буквы) определяет название уравнении и способ его решения. Если неизвестное в первой степени, то уравнение называется линейным. Например: 6х + 18 = 60 (неизвестное х в первой степени).
Если неизвестное во второй степени, то уравнение называется квадратнгмм. Например: 2×2 + 18 = 26 (неизвестное x во второй степени).

Для решения линейных уравнений применяются законы сложения (переместительный и сочетательный). Чтобы решить линейное уравнение, надо:

  • Привести подобные слагаемые в обеих частях уравнения.
  • Раскрыть скобки в уравнении, если они есть.
  • Слагаемые с неизвестным перенести в одну часть от знака равенства, а числа — в другую часть. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую знак перед этим слагаемым изменяется на противоположный («+» на «-». а «-» на «+»).
  • Вычислить значение неизвестного, используя свойство действия умножения (чтобы найти один из множителей. надо произведение разделить на второй множитель).

Например: 7 (4 — х) + 3 (х — 5) = 9х.

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии. В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений.

По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно. Предварительные навыки Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством.

При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5. А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5 Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решение уравнений

Меню

Вход / / / / В этом уроке мы закрепим навыки решения уравнений.

Покажем решение уравнения способом переноса слагаемых из одной части в другую, изменив при этом их знаки.

Сформулируем алгоритм решения уравнения, содержащего подобные слагаемые.

Введем понятие линейного уравнения.

Вам уже много раз приходилось решать различные уравнения. Давайте вспомним, что же называется уравнением.

Определение Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти. Значение переменной, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни, или убедиться, что уравнение не имеет корней.

Разберёмся, как же решают уравнения. Итак, первое уравнение Но можно решить это уравнение другим способом. Обычно в таком случае говорят, что обе части уравнения разделили на 5.

Второе уравнение: То же самое мы бы получили, если бы воспользовались правилом отыскания неизвестного множителя.

Сделаем вывод: Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число.

Третье уравнение: Это уравнение можно переписать так: Следующее уравнение:

Сделаем вывод: Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Содержание страницы: Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x — переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры:

  • 3 x = 2
  • 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду. Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a .

В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет?

Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем.

Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение линейное.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного уравнения: x = b a .